結局、社外シートを車検に通すために必要なものは何なのか？

結論から言うと、少なくともBRIDEの場合は、

①シート本体の基準登録番号
②シート本体の保安基準適合を証する書類
③レールがBRIDE製であることを確認できるもの（ロゴステッカーなど）

だと思われます。
（素人の推測ですが）

今回は、①HONDA S660に、②BRIDE ZETAⅣとスーパーシートレールを取り付けて、③手持ちの書類すべてを添えて、④あるHONDAディーラーに車検を依頼した場合となります（画像参照）。

なお、車検の前に、事前にDの担当者の方に、①BRIDE製のフルバケットシートを取り付けていることを伝えたうえで、②手持ち書類の写しと基準登録番号等の画像を送付し、また③レールの構造上、レール本体の基準登録番号等の確認が困難であることを伝えてあります。

で、なぜ最初に挙げた３つで通ったと判断したか、なのですが。

車検後に車両を返されたとき、事前に送付した書類のうち、「シート本体の関係書類の写し」（先ほどの画像の「書類」項の４つ）のみを印刷したものが、車内に車検証と一緒に置かれていました。

また、シート本体については、本体に貼付されているステッカーで基準登録番号が確認できます。

要は、シート本体については、本体と書類を、基準登録番号で突合して確認しているのだと思います。

じゃあ、レールはどうなのか、なのですが。

レールについては、あるのは保証書と取説のみで、いわゆる「強度証明書」なるものは付属しません。
さらにいうと、レールの構造上、一度取り付けてしまうと、レール本体に貼付されている、基準登録番号が記載されたステッカーは、見えなくなってしまいます。
せいぜい、画像のとおり、「BRIDE」のロゴステッカーが見えるだけです。

表に着色して再掲。

要は、表の色付き（黄色とオレンジ部分）のところしか見ていないのでは？というのが、今回の感想です。
シート本体はきっちり見るが、レールについては、同一会社製と判れば、あまり細かくは確認しないっぽい、という感じ。

余談ですが、BRIDEとしては、S660にZETAⅣは不適合です（オレンジ部分）。でも、車検は通ってます。

…という感じでまとめてみたんですけど、自分の場合はこうだった！みたいなの、教えていただけるとありがたいです。