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2018年02月12日

先日放送の頭脳王2018の計算問題について

先日放送の頭脳王2018の計算問題について 世の中3連休でしたが、雪が酷いので買い物程度に済ませ引きこもっていました。

先日放送の頭脳王2018に出題された計算問題が気になったので、無い頭を考えて何とか解答に辿り着けました!

※以下解説ですが、他のやり方もあるかもしれません。
なるべく複雑にしたくないので簡潔に答えを出しました。


1、太陽の210億倍の質量を持つブラックホールの直径は?


有効数字は3桁にしなければならないので、途中で四捨五入をしてしまうと答えが出せなくなる。
シュヴァルツシルト半径の公式は用いずに普通に計算してみた。
万有引力定数G、星の質量M、光速cから、
半径R =2GM / c²


(重力源となる星の質量)
M=太陽の質量の210億倍
 =(1.99×10³)×(210×10)
 =1.99×21×10³⁹
中心からR(m)離れた所で、質量N(kg)の物体を光速c(m/s)で放つ時、
(運動エネルギー) = Nc²/2 

(位置エネルギー)
 =-(万有引力定数G)×(星の質量)×(物体の質量N)/R
=-GN×(星の質量)/R

位置エネルギーがマイナスなのは、半径が中心から伸びていく向きとは逆に中心へと引きつけるから。

上の2つのエネルギーの総和がゼロになるから、
Nc²/2-GN×(星の質量)/R=0
∴ Nc²/2 = GN×(星の質量)/R

Nはゼロにならないので、両辺をNで割って整理すると、
R=2G×(星の質量)/c²  ・・・(これが公式になる)
=2×(6.67×10¹¹)×(1.99×21×10³)/(3×10)²
 =13.34×13.93×10¹²/3
 =1.858262×10¹⁴/3

∴ (直径)=2R
     =3.716524×10¹⁴/3
     =1.238・・・×10¹⁴(m)

答え
1.24×10¹¹(km)
これを短時間で計算出来るのは凄すぎ!
参考書を見て答えるのがやっとでした。


2、小平選手が世界記録を出したスピードで山手線を一周したら何分何秒かかる?

個人的にはこの問題が一番簡単だった。

1000m滑るのに1分12秒09かかるから、
1kmで72.09秒になる。

∴ (山手線一周34.5kmのタイム)
 =72.09×34.5
 =2487.105 (秒)
 =41分27.105 (秒)
    
答え
41分27.11秒


3、スーパーロボットXが100回転ジャンプを跳ぶ時、最低何mの高さまでジャンプする必要がある?

普通に考えたらあり得ません(笑)


4回転で0.7秒なら、
100回転だと、0.7×100/4=0.7×25
=17.5秒

落下時間=17.5/2
    =35/4 (秒)

落体の法則から、
(落下距離)=(1/2)gt²
     =4.9×(35/4)²
   =4.9×1225/16
     =375.156

四捨五入して小数第1位まで求めると、
答え
375.2 (m)


4、スーパー怪獣の声が東京から自由の女神まで届く時、その体長は何mになる?

またまたあり得ない問題。

始めに、音は声量に比例し、声量は肺活量に比例し、肺活量は体重に比例し、体重は身長の3乗に比例する、というのが条件。

音は身長の3乗に比例する。
一方、音は距離の2乗に反比例する。
条件より   
60=(比例定数)×1.7³/0.1²

怪獣のの体長をX(m)とすると、
60 = (比例定数)×X³/11059.2²

上の2式の左辺は同じであるから、右辺を見比べると、

1.7³/0.1²=X³/11059.2²
∴ 11059.2²/0.1²=X³/1.7³
∴ (X/1.7)³=(110592)²・・・①

110592を素因数分解すると、
110592=(2の12乗)×3³

①の右辺に代入して、  
(X/1.7)³ = {(2の12乗)×3³}²
      = (2の24乗)×3⁶
      = {(2の8乗)×3²}³

Xは実数であるから、
X/1.7=(2の8乗)×3²
     =2304
∴ X=2304×1.7

答え
3916.8 (m) 

この問題を難なく解いた東大・京大の方々は凄いです!
参考書を用いながらでしたが、無事に解答に辿り着くことが出来て良かったです!
ブログ一覧 | 日記
Posted at 2018/02/12 13:58:06

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