こんにちは。
久しぶりにブログアップだす。
((((；ﾟДﾟ)))))))アワワ（笑）
何故？
それは最近、激務に加え
子ども達に勉強を教えているからだす。
しかし
昨夜は、隣で勉強している長女のノートを見て
オイラの思考回路がフリーズ！
見た事がない記号が。。。(・・?)
Σ
シグマ計算って何だ？
聞かれて答えられないと
親父の威厳を失うから、さっそく調べますたよ。
で、
さらに理解不能。（＾◇＾）あはは（笑）
何だコレ？ ( ；´Д｀)（大汗）
和の記号 Σ とその公式
和の記号 Σ に関しては, 既に第一部準備のところで述べたが, もう一度定義を書くと
Σk=11ak = a1,
Σk=1nak = an + Σk=1n-1ak, n > 1.
言い換えると
Σk=1nak = a1 + a2 + … + an
である。
公式:
i, j, k, ... が n と無関係ならば
Σi=1nai = Σj=1naj = Σk=1nak = ….
c が無効添字 (dummy index) k と無関係な定数ならば
Σk=1nc = cn.
Σk=1nk = n(n + 1)/2.
Σk=1nk2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
Σk=1nk3 = (n(n + 1)/2)2.
[線型性] p, q を無効添字 (dummy index) k と無関係な定数ならば
Σk=1n(pak + qbk) = pΣk=1nak + qΣk=1nbk.
r ≠ 1 ⇒ Σk=1nrk = r(rn - 1)/(r - 1).
[証明]
1 は明らかであろう。 既に公式中に書いてあるが, k という文字は和を表すためにだけ導入された文字だから, 無効添字 dummy index と呼ばれている。
2. ∀k(ak = c) (viz. 定数列) だから
Σk=1nak = a1 + a2 + … + an = c + c + … + c, (n 個)
= cn.
数学的帰納法でやれば, n = 1 の時は明らかで
Σk=1nc = c + Σk=1n-1c = c + c(n - 1) = cn.
3. これは an が初項 1, 公差 1 の等差数列だから, 等差数列の公式から明らか。
4. これの証明はここでやったので省略。
5. 4. の証明をならって,
(k - 1)k(k + 1)(k + 2) - (k - 2)(k - 1)k(k + 1)
= (k - 1)k(k + 1)(k + 2 - (k - 2))
= 4(k - 1)k(k + 1)
= 4(k3 - k)
から始める。
従って,
4(Σk=1nk3 - n(n + 1)/2) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2),
4Σk=1nk3 - 2n(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2),
4Σk=1nk3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 2n(n + 1)
= n(n + 1)((n - 1)(n + 2) + 2) = n(n + 1)(n2 + n - 2 + 2)
= n(n + 1)(n2 + n) = n2(n + 1)2.
あとは両辺を 4 で割ればよい。
数学的帰納法でやれば, n = 1 の時は
rhs = (1×(1 + 1)/2)2 = 1 = lhs.
だから良い。 帰納法の仮定となる式を出しておこう。
先ず Σk=1mk3 = (m(m + 1)/2)2 と上限 (上端) の文字を換えておいて, ここに m = n - 1 を代入する。 そうすると Σk=1n-1k3 = ((n - 1)((n - 1) + 1)/2)2 = (n(n - 1))/2)2 = ((n - 1)n)/2)2 (以下ではこのような番号ずらしの technique については省略する)。
従って
Σk=1nk3 = n3 + Σk=1n-1k3
= n3 + ((n - 1)n)/2)2 = n3 + n2(n - 1)2/4 = (4n3 + n2(n - 1)2)/4
= n2(4n + n2 - 2n + 1)/4 = n2(n2 + 2n + 1)/4 = (n(n + 1)/2)2.
6. Σk=1n(pak + qbk) = (pa1 + qb1) + (pa2 + qb2) + … + (pan + qbn)
= (pa1 + pa2 + … + pan) + (qb1 + qb2 + … + qbn)
= p(a1 + a2 + … + an) + q(b1 + b2 + … + qbn)
= pΣk=1nak + qΣk=1nbk.
数学的帰納法でやれば, n = 1 の時は明らかだから
Σk=1n(pak + qbk) = (pan + qbn) + Σk=1n-1(pak + qbk)
= pan + qbn + pΣk=1n-1ak + qΣk=1n-1bk
= pan + pΣk=1n-1ak + qbn + qΣk=1n-1bk
= pΣk=1nak + qΣk=1nbk.
7. Σk=1nrk = r + r2 + r3 + … + rn.
これは初項 r, 公比 r の等比数列の和だから明らか。 そこで宿題扱いにした数学的帰納法による証明を掲げておく。
n = 1 の時は両辺とも 1 になるのでよろしい。 n > 1 の時
Σk=1nrk = rn + Σk=1n-1rk = rn + r(rn-1 - 1)/(r - 1) = rn + (rn - r)/(r - 1)
= (rn(r - 1) + rn - r)/(r - 1) = (rn+1 - rn + rn - r)/(r - 1)
= (rn+1 - r)/(r - 1) = r(rn - 1)/(r - 1).
よくやる間違いだが線型性 6 は成立するが, Σ という記号は足算の省略記号なので和と差については良い性質を示すが, 積や商に関してはあまり相性がよくない, 即ち (一方が定数列であるとか, 偶然成立する場合を除いて)
Σk=1n(ak・bk) ≠ (Σk=1nak)・(Σk=1nbk)
Σk=1n(ak/bk) ≠ ( Σk=1nak)/(Σk=1nbk)
例:
(1) Σk=1n k(k + 1) = Σk=1n (k2 + k) = Σk=1n k2 + Σk=1n k
= n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2
= n(n + 1)(2n + 1)/6 + 3n(n + 1)/6
= n(n + 1)(2n + 1 + 3)/6
= n(n + 1)(2n + 4)/6
= n(n + 1)・2(n + 2)/6 = n(n + 1)(n + 2)/3.
(2) Σk=1n (1/(k(k + 1)))
= Σk=1n (1/k - 1/(k + 1)) … 部分分数への分解
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/n - 1/(n + 1)) … Σ の定義
= 1 - 1/(n + 1)
= (n + 1 - 1)/(n + 1) = n/(n + 1).
このような technique を日本では 「将棋倒し」, 西洋では 「望遠鏡的和」 というようである。
正しくは数学的帰納法を用いるべきであろう。 やってみると, 上記のようになると推定しておいて, n = 1 の時は両辺とも 1/2 になることを確認しておいて, n > 1 の時
Σk=1n (1/(k(k + 1))) = 1/(n(n + 1)) + Σk=1n (1/(k(k + 1)))
= 1/(n(n + 1)) + (n - 1)/n = 1/(n(n + 1)) + (n - 1)(n + 1)/(n(n + 1))
= (1 + (n - 1)(n + 1))/(n(n + 1))
= (1 + n2 - 1)/(n(n + 1))
= n2/(n(n + 1)) = n/(n + 1).
だから証明された。
ヾ(＠⌒ー⌒＠)ノイミフ（笑）
さて、今夜も勉強しナイト。
((((；ﾟДﾟ)))))))アワワ（笑）
画像は、長男（中１）の問題だす。
☆〜（ゝ。∂）
こんばんは。
こんにちは。
