抜き出したワイヤーと購入した先端部分をつなぎます。
ワイヤーを芯にクッション材とバネの構成となっているので、バーナーで炙って先端のクッション材を焼き切ってから、フラックスを使って半田接合しています。
その後ヤスリで径を調整します
溶接できるのであれば溶接の方が安全かもしれません

追記
半田割れました。
熱入るのでやりたくなかったですが、ロウ付けでやり直しました。
やはりワイヤー部溶接がよさそうですが、半田付けしか出来ない場合は突き合わせではなく、バネ部分を落としてワイヤーを重ねて半田するなどした方が良さそうです