本題のサーモスタットの取替です。分解してみたところ、お店の人の予想通り水温が上がらない原因はサーモスタットが開きっぱなしになっていたためでした。
写真の通り完全に折れてます。恐らく閉じたり開いたりする金属疲労とサビでパキッと逝ってしまったのでしょう。
サクッと新品のサーモスタットに交換してもらいました！流石作業が早いです。
その他ラジエーターキャップとラジエータードレンコックのパッキンも交換してもらいました。パッキンは水漏れはしていなかったのですがゴムが固くなってカクカクになっていたので新品に。