前置きが長くなりましたが本題。
まずチューブにエアーをパンパンに張ります。そしてチューブとタイヤのビード、それからホイールのインリムに潤滑スプレーをこれでもかと塗りまくります。こうすることで後からチューブを抜きやすくなります。

続いて廃タイヤに組み付けるホイールに載せ、エアーが抜けないようにします。

で、タイヤにエアーを張っていきます。この時きちんとエアーが漏れないようになっていれば、ビードがモリモリモリっと上がってきます。そのタイミングと同時に、チューブのエアーを抜きながら、チューブ自体を外していきます。
相当な不器用な人でなければ、なんとなくそのタイミングは初見でも分かると思います。自他共に認める筋金入りの不器用な自分でも分かったので大丈夫です。多分。