必要な箇所迄分解していきます。

矢印は穴の所から抜いたピストンで、先端のリング状のパッキンを交換します。

自分は左下の青い袋のパッキンを近所のホームセンターで買い増した。
（どっちのサイズを使用したかは忘れてしまいましたが、一袋100円程度です）
水道用と書いてありますが成分にニトリルなので多分大丈夫かと思います。

後は古いオイルも全部捨てて、新品オイルに入れ替えました。
これもホームセンターでジャッキ用と書いてあるオイルです。

交換後、ジャッキの作動は快調となってます！