あくまで頭の体操です。

今は某ネットオークションで手に入れた「リレー４個でロジックを組んだタイプ」のフリップフロップリレー回路を使ってバックフォグを点灯させています。
（フロントフォグON検出用とバックフォグON/OFF用を合わせると合計６個のリレーを使っています）
現状の点灯ロジックは保安基準を満たしており、問題無く作動しているので、当分はこのままでしょう。

ちなみに車両法　第３７条の２の３（３）ロの条項では
「前照灯又は前部霧灯を消灯した場合にあっても点灯しているときは、尾灯は点灯しており、かつ、尾灯を消灯した後、前照灯又は前部霧灯を点灯した場合には、再度、後部霧灯の点灯操作を行うまで消灯していること。」
とありますので、「ヘッドライトまたはフロントフォグ」なのですが、私の車では、ヘッドライトが点灯していてもフロントフォグが点灯していないとバックフォグが点灯しないようにしています。さらに、テールランプが点灯していないとフロントフォグは（既設・増設の双方とも）点灯できないという二重の縛りを設けています。（要は車両法より厳しい条件）

これをロジックIC化したフリップフロップリレー回路に置き換えたら・・・というお題で具体的な回路構成を検討してみたのが本図になります。
太点線内をリレー５個で組んである以外は、うちの車には本図の回路をそのまま装着していますので、もしうちの車の現在の回路が壊れた場合は、この回路に置き換えることになると思います。

なお、
・フロントフォグ
　（又はヘッドライト）
・常時電源
　（フロントフォグ電源に余裕があれば省略可）
・イルミ
　（必須ではない）
この３つの電源（信号）が確保できれば、日産T32エクストレイル以外の車種にも応用はきくと思います。

ただし、本回路図を参考にされるのは構いませんが、製作や実車搭載する場合は自己責任にてお願いいたします。

【追記】
フロントフォグ電源に余裕があるのであれば、フロントフォグからバックフォグ点灯用電源をもらうことで、フロントフォグON検出用リレーも省略できると思います。
そこはいろいろなメリット・デメリット（リスク）を考慮するのであれば、電源を一緒にする／別にするを選択可能だと思います。